【数学の考え方(全六回)】第一回 たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ ~アタリマエを疑う~

2020年5月14日

【数学の考え方】について

【数学の考え方】については以下の記事をご覧ください.

全六回の記事一覧です.

  • 第一回 たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ(←now!!)
  • 第二回  ≦ と < の小さな違い・大きな違い
  • 第三回 小中高の算数・数学からわかる!一般化のはなし
  • 第四回 幾何学はたった「5つの約束」でできている!?
  • 第五回 もう忘れない!必要条件・十分条件の見分け方
  • 第六回 必見!!こんなに面白い数学史

それでは,Let’s math!

たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ

四則演算(+,-,×,÷)の復習

このシリーズは「誰にでもわかりやすく」をモットーとしているので,最初は私たちにとても馴染み深い「計算」から話を始めましょう.

皆さんは四則演算をご存じでしょうか?

四則演算とは

  • たし算(加算,+,addition)
  • ひき算(減算,-,subtraction)
  • かけ算(乗算,×,multiplication)
  • わり算(除算,÷,division)

計4つの演算のことをいいます.

(かけ算の記号は「・」と表記されたり,省略されたりします.)

(この記事では,演算=計算と解釈しても大丈夫です.)

皆さんも日常生活で,買い物や割り勘などをするときによく計算しますよね.

Q. 一部屋1000円のカラオケボックスを4人で借りるとき,一人何円ずつお金を払えばよいか?

A. 1000(円)÷4(人)=250(円/1人)

しかし,異なる演算子(+,-などの記号)が一本の同じ式に含まれている場合では,計算する順序によって答えが変わることがあります.

Q. 12÷3-2=?

A1. (12÷3)-2=4-2=2

A2. 12÷(3-2)=12÷1=12

このような問題を解決する,つまり 全員が同じ問題を解き,全員が同じ答えを出すために生まれたのが,小学校で習う「計算のルール」です.

計算のルール

  • かっこの中から計算する
  • かけ算・わり算はたし算・ひき算より先に計算する
  • かけ算・わり算のみの式は前から計算する
  • たし算・ひき算のみの式も前から計算する

計算のルールを一通り確認し終えたところで,練習問題に挑戦しましょう.

Q. 12÷4+(3×2-4)×5=?

A. 12÷4+(3×2-4)×5

=3+(6-4)×5

=3+2×5

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次の問題はどうでしょうか.

Q. 6÷2(1+2)=?

A. 考え方による

 → 1 or 9

実はこの問題,ネット上で議論を巻き起こした問題なんです.

この問題を引き起こしている原因は,簡単に言うと「解釈の違い」です.

詳細はリンク先のサイトを参照してください.

皆さんはどのように考えますか?

(私は,後者のような「個人の解釈」によって答えがただ一つに定まらないものについて,「数学的に考える必要がない」と思っています.そのような学問は哲学にお任せします.)

四則演算の世界

このような「簡単な」計算から,奥深い「数」の世界が広がって行きます.

一緒に数の世界を冒険しましょう! 私がナビゲートいたします.

数の世界の始まりと自然数

数の世界はまず,自然数から始まりました.皆さんも「自然数」は何となく聞いたことがあると思います.

「ものを数える」ためには,自然数は必要不可欠ですよね?

このように,人間が自然に考えついた数なので「自然数」と呼ばれているらしいです.

日本の学校では正の整数(1,2,3,4,etc.)を自然数と定義していますが,フランスなどでは非負整数(0,1,2,3,etc.)を自然数と定義しています.不思議ですね!

位取り記数法について

位取り記数法とは,数の表現方法の一種で,あらかじめ定められた種類かの記号や数字を並べることによって数を表す方法です.

例えば,日本人を含む多くの人類が現在使用している10進法では,10種類のアラビア数字(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)を横に並べることによって,数を表しています.

(数字の代わりに数種類のローマ字(a,b,c,d,etc.)を利用する場合もあります.)

「10進法なんて当たり前」と思う人もいるかもしれませんが,実はそれほど当たり前ではありません.

たまたま人間の指の本数が合計10本だったので,10進法を利用しているだけなのです.

実際に,メソポタミア文明では60進法,マヤ文明では20進法が利用されていました.

60や20の由来が気になる方はぜひご自身で調べてみてください. 

特に60進法は,現在でも時間(時・分・秒)を表すときに使われています.

A. 2本指の宇宙人は何進法を使っているでしょうか👽

自然数とたし算・かけ算の世界

数の世界を冒険するにあたって,私たちの知っている数は自然数のみと仮定します.

自然数の世界だけで出来る計算はあるでしょうか?

試しに,自然数の世界でたし算をしてみましょう.

1+1=2

3+4=7 etc.

Q. (自然数)+(自然数)は自然数でしょうか?

A. 常に自然数

このように,たし算は自然数の世界のみで計算が成り立ちます.

かけ算も試してみましょう.

2×3=6

3×5=15 etc.

Q. (自然数)×(自然数)は自然数でしょうか?

A. 常に自然数

こちらもたし算と同様に,自然数の世界のみで計算が成り立っています.

このような場合,自然数の集合はたし算とかけ算について閉じていると言います.

閉じているとき,自然数の集合上でたし算とかけ算は定義できるのです.

「その世界だけで完結している(成り立っている)」というイメージが,閉じているという言葉に現れていますね.

Q. なぜ自然数の定義に0を含めても含めなくてもよいのか?

キーワード:閉じている

Q.

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「閉じている」イメージ画像