【数学の考え方(全六回)】第一回 たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ ~アタリマエを疑う~

2021-04-18

【数学の考え方】について

【数学の考え方】については以下の記事をご覧ください。

全六回の記事一覧です。

  • 第一回 たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ(←now!!)
  • 第二回  ≦ と < の小さな違い・大きな違い
  • 第三回 小中高の算数・数学からわかる!一般化のはなし
  • 第四回 幾何学はたった「5つの約束」でできている!?
  • 第五回 もう忘れない!必要条件・十分条件の見分け方
  • 第六回 必見!!こんなに面白い数学史

それでは、Let’s math!

たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ

四則演算(+,-,×,÷)の復習

このシリーズは「誰にでもわかりやすく」をモットーとしているので、最初は皆さんとても馴染み深い「計算」から話を始めましょう。

皆さんは「四則演算」をご存じでしょうか?

四則演算とは

  • たし算(加算、+、addition)
  • ひき算(減算、-、subtraction)
  • かけ算(乗算、×、multiplication)
  • わり算(除算、÷、division)

上記4種類の計算のことをいい、それぞれ異なる計算記号が振り分けられています。

(かけ算の記号は「×」の代わりに「・」と表記されたり、省略されたりします。)

皆さんも日常生活で、買い物割り勘のときにちょっとした計算をしますよね?

Q. 一部屋1000円のカラオケボックスを4人で借りるとき、一人何円ずつお金を払えばよいか?

A. 1000(円)÷4(人)=250(円/1人)

しかし、異なる計算記号がひとつの式に含まれている場合では、計算する順序によって答えが変わってしまうことがあります。

Q. 12÷3-2=?

A1. (12÷3)-2=4-2=2

A2. 12÷(3-2)=12÷1=12

答えが二つ存在する計算なんて、おかしいですよね?

この問題を解決する、つまり、

全員が同じ問題を解き、全員が同じ答えを出す

ために必要なのが、小学校で習う「計算のルール」です。

計算のルール

  • かっこの中から計算する
  • かけ算・わり算はたし算・ひき算より先に計算する
  • かけ算・わり算のみの式は前から計算する
  • たし算・ひき算のみの式も前から計算する

上記4通りが、四則演算を含む式の計算ルールです。

ルールを一通り確認し終えたところで、練習問題です!

第一問

Q. 3×3+3÷3-3=?

解答

A. 3×3+3÷3-3

= 9+3÷3-3

=9+1-3

=7

おお!いい感じですね! どんどん行きましょう!!

第二問

Q. 12÷4+(3×2-4)×5=?

解答

A. 12÷4+(3×2-4)×5

=3+(3×2-4)×5

=3+2×5

=13

さすがー! 次の問題はどうでしょうか?

第三問

Q. 6÷2(1+2)=?

解答

A. 考え方による

 → 1 or 9

「なーんだ。ただのひっかけ問題か~。」と思うことなかれ。

実はこの問題、ネット上で議論を巻き起こした問題なんです。

この問題を引き起こしている原因は、「解釈の違い」です。

詳細は下記のサイトを参照してください。

皆さんはどのように考えますか?

私は、後者のような「個人の解釈」によって答えがただ一つに定まらない問題に対しては「数学的に考える意味はあまりない」と考えています。

世界中をぐるりと見渡してみてください。

数学に多く登場する「答えがただ一つに定まる問題」は、現実ではめったに出会うことがありません。

むしろ、80億弱ほど存在する人類それぞれの感情の機微が相まって、この世の中は「絶対的な答えが存在しない問題」に溢れかえっています。

そういう観点から「6÷2(1+2)」を見れば、この問題はまさに現実そのものを投影しているのではないでしょうか?

四則演算の世界

今までの簡単な計算を入口として、この先には実に奥深い「数の世界」が広がっています。

この章では、皆さんを数の世界の旅行にご招待します。

今回は画面上のバーチャル旅行なので、肩の力を抜いて、一緒に長く短い旅を楽しみましょう!

数の始まりと自然数

数の世界は、私たちと馴染みの深い自然数から始まります。

皆さんも「自然数」くらいは何となく耳にしたことがあるでしょう。

いち、にい、さん、しい、…

ひい、ふう、みい、よお、…

1, 2, 3, 4, …

one, two, three, four, …

イー、アー、サン、スー、…

これが自然数です。(厳密には少し違う。「無理数、そして実数へ」参照。)

私たちはこれらの数たちを、自然と、日常生活で使っています。(ものを数えるとき、料理するとき、時間を確認するとき etc.)

このように、人類の生活に密着した自然な数なので「自然数」と呼ばれています(諸説あり)。

1+1=10?

冒険途中、とある問題が我々に襲い掛かってきた!!

Q. 1+1=10 は正しいか?

A. 正しくもあり、誤りでもある

突然出題された意味不明の問題、そして矢継ぎ早の意味不明な答え。

(ハプニングがまた、冒険の醍醐味だったりもする。)

この問題と答えの裏には、2進法位取り記数法が関係しています。

順番に説明します。

2進法とは、「0」「1」の2種類の数字を規則的に並べて数を表現する方法です。

そして 101101 など、上記の方法をもとに作られた数を2進数と呼びます。

(高校の教科書では、こまごまとした定義がひたすらに述べられ、無味乾燥意味不明な印象を受けていた方も多いと思いますが、上記のように簡単に言ってしまえばほんの数行で済みます。そして短いほうが直感的で(大抵の場合は)理解の助けにもなりますよ。)

今回は並べ方の規則までは書きませんが、気になる方は以下の数字列から、自力で規則を発見してください。

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, …

そして2進法を用いた場合は、1+1=10 という、なんとも不思議な等式が成り立ちます。

以上より、改めて正確な解答を書き下すと、

A. 一般的には誤っているが、(2進数などの)特別な場合には正しい。

となります。

位取り記数法とは、あらかじめ定めた何種類かの記号や数字を並べることによって数を表す方法です。

つまり、先ほど説明した2進法の一般化ですね。

例えば、日本人を含む多くの人類は、10種類のアラビア数字 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) を横に並べることによって数を表現しています。

これが10進法です。

他にも情報系では、10種類のアラビア数字と6種類のアルファベット (a, b, c, d, e, f) の計16種類の数字を用いる16進法がよく使われます。

人間の手の指の本数がたまたま10本だったので、現在でも10進法が頻繁に利用されているのでしょう。

かといって10進法以外にも、過去に使われていた〇進法は多々存在します。

(メソポタミア文明では60進法、マヤ文明では20進法が利用されていた。特に60進法は、現在でも時間(時・分・秒)を表すときに使われている。)

この節の最後に、ちょっとした問題を置いておきます。

想像力を働かせて、自由に考えてみてくださいね!

A. 2本指の宇宙人は何進法を使っているでしょうか👽

自然数とたし算・かけ算の世界

現在まで、私たちは自然数の世界を旅しました。

逆に言えば、私たちはまだ自然数以外の世界を知りません。

どんどん先に進んでいきましょう!

ここで、次の世界へ行くための問題です。

Q. (自然数)+(自然数)は自然数でしょうか?

A. 常に自然数

1+1=2

3+4=7 etc.

このように、たし算は自然数の世界のみで計算が成り立ちます。

かけ算も試してみましょう。

Q. (自然数)×(自然数)は自然数でしょうか?

A. 常に自然数

2×3=6

3×5=15 etc.

こちらもたし算と同様に、自然数の世界のみで計算が成り立っています。

このような場合、自然数の世界はたし算とかけ算について閉じていると言います。

また、閉じているとき、その計算はその世界の中で定義できます。(閉じていない場合、その計算は定義できない。)

「その世界(数の集まり)だけで計算が完結している(成り立つ)」というイメージが、閉じているという日本語と繋がっているのですね。

最後に、少し難しめの問題を2種類ほど。

特に2問目は「数学ガール」の著者として有名な結城浩さんのものです!

Q. なぜ自然数の定義に0を含めても含めなくてもよいのか?

キーワード:たし算、かけ算、閉じている

Q.