【数学の考え方（全六回）】第一回　たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ　～アタリマエを疑う～

2020年5月12日2020年5月14日

広大な世界へ…

このコーナーでは，少し難しく，興味深く，面白い内容を取り扱います．

かけ算の順序問題

皆さんは「かけ算の順序問題」をご存じでしょうか？

Q.　リンゴが３個ずつ入った袋が全部で４袋あります．リンゴは全部でいくつありますか？

A1.　3×4＝12（個）

A2.　4×3＝12（個）

A1とA2はどちらも同じ答えを導き出していて，両方正解に見えます．

かけ算の順序問題は，ある小学校の教員がA2の解答にバツをつけたことから勃発しました．

具体的な内容は以下の動画やリンクを参照してください．

【数学小話】３×４≠４×３？

算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える掲示板

とある東大生はかけ算に順序が必要だと考えます｜Nao Harada｜note

かけ算の順序問題 – Wikipedia

上記の通り，いろいろな意見があります．

一概にどちらが正しいとは言えませんが，私はこの問題については先ほどの問題と同様に「考える意味がない」と思っています．

それらは定義の問題で，人によって意見が変わってくるのは明々白々です．

皆さんはどう考えますか？

複素数の世界

私たちは数の世界の旅を通じて，実数の世界までを旅してきました．

このようなプロセスで，数の世界は様々に広がって行きます（自然数→整数→有理数→実数→・・・）．

しかし，ある意味で「数の世界の終着点」は存在します．

それは「複素数」という数です．

複素数の定義

2乗すると -1 になる新しい数を1つ考えて，これを文字 $i$ で表し，虚数単位という（ $i^2 = -1$ ）．

2つの実数 $a,b$ を用いて $a + bi$ の形に表される数を複素数という．

複素数というと，素数と関係がありそうな響きですが，全く関係ありません．

2つの実数，つまり，複数の要素から構成される数なので，日本語では「複素・数」と呼ばれています．

「複・素数」ではないので，気を付けてください．（英語ではcomplex numberと言います．）

Q.　なぜこの数がある意味で「数の世界の終着点」なのでしょうか？

A.　複素係数一変数多項式が複素数の根（解）を持つ（代数的に閉じている）から．

上記の回答はわかりにくいので，なるべくかみ砕いて説明すると，

A.の説明
数学には「代数学の基本定理(Wikipedia)」という，とても有名な定理があります．
その定理の内容は「次数が1以上の任意の複素係数一変数多項式（係数が複素数で，変数が1つの多項式）には，複素根が存在する．」というものです．（ちなみにこの内容から「n次の複素係数一変数多項式はn個の解をもつ」ことが帰納的にわかります．）

「代数学の基本定理」は，複素数の集合が「代数的に閉じている」ことを主張しているのです．
つまり，複素数は「代数的に閉じている（代数的閉体）」です．

上記の説明もさっぱりですよねww

本当に，ごくごく単純に説明すると，

俺らが良く目にする「方程式（多項式）」の解は，ゼッテー複素数ってマジ？

だから俺らは複素数より”デッケー”数に学校で出会わなかったんか～

じゃあもう複素数が「数の世界の終点」ってことでヨくね？？

というような感じです．（大真面目）

虚数単位 $i$ については別の記事を出すのでお楽しみにしてください．

群・環・体について

先ほどは，演算がある集合について閉じていることが必要だと述べました．

この考え方は，現代数学の源泉である「群・環・体」の理論へとつながっています．

この理論を一言で説明すると，

「数学（主に代数学）のエッセンスを抽出したことで，幅広い応用が利く理論」

です．

以下に，演算の正確な定義と群環体それぞれの定義を述べます．

定義が難しく感じる方は，群環体の具体例だけでも確認してみてください．

（抽象的な物事を学ぶ際は，具体例を確認することが上達への最短ルートですよ！）

演算の正確な定義

$X$ が集合であるとき，写像 $\phi : X \times X \to X$ のことを集合 $X$ 上の演算という．混乱の恐れがない時には， $\phi(a,b)$ の代わりに $ab$ と書く．

群の定義

$G$ を空集合ではない集合とする． $G$ 上の演算が定義されていて次の性質を満たすとき， $G$ を群という．

単位元と呼ばれる元 $e \in G$ があり，すべての $a \in G$ に対し $ae = ea = a$ となる．
すべての $a \in G$ に対し $b \in G$ が存在し， $ab = ba = e$ となる．この元 $b$ は $a$ の逆元とよばれ， $a^{-1}$ と書く．
(結合法則)　すべての $a,b,c \in G$ に対し， $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ．