【数学の考え方（全六回）】第一回　たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ　～アタリマエを疑う～

2020年5月12日2021年2月28日

広大な世界へ…

このコーナーでは、少し難しく、興味深く、面白い内容を取り扱います。

かけ算の順序問題

皆さんは「かけ算の順序問題」をご存じでしょうか？

Q.　リンゴが３個ずつ入った袋が全部で４袋あります。リンゴは全部でいくつありますか？

A1.　3×4＝12（個）

A2.　4×3＝12（個）

A1とA2はどちらも同じ答えを導き出していて、両方正解に見えます。

かけ算の順序問題は、ある小学校の教員がA2の解答にバツをつけたことから勃発しました。

具体的な内容は以下の動画やリンクを参照してください。

【数学小話】３×４≠４×３？

算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考える掲示板

とある東大生はかけ算に順序が必要だと考えます｜Nao Harada｜note

かけ算の順序問題 – Wikipedia

上記の通り、いろいろな意見があります。

一概にどちらが正しいとは言えませんが、私はこの問題については先ほどの問題と同様に「考える意味がない」と思っています。

それらは定義の問題で、人によって意見が変わってくるのは明々白々です。

皆さんはどう考えますか？

複素数の世界

私たちは数の世界の旅を通じて、実数の世界までを旅してきました。

このようなプロセスで、数の世界は様々に広がって行きます（自然数→整数→有理数→実数→・・・）。

しかし、ある意味で「数の世界の終着点」は存在します。

それは「複素数」という数です。

複素数の定義

2乗すると -1 になる新しい数を1つ考えて、これを文字 $i$ で表し、虚数単位という（ $i^2 = -1$ ）。

2つの実数 $a,b$ を用いて $a + bi$ の形に表される数を複素数という。

複素数というと、素数と関係がありそうな響きですが、全く関係ありません。

2つの実数、つまり、複数の要素から構成される数なので、日本語では「複素・数」と呼ばれています。

「複・素数」ではないので、気を付けてください。（英語ではcomplex numberと言います。）

Q.　なぜこの数がある意味で「数の世界の終着点」なのでしょうか？

A.　複素係数一変数多項式が複素数の根（解）を持つ（代数的に閉じている）から。

上記の回答はわかりにくいので、なるべくかみ砕いて説明すると、

A.の説明
数学には「代数学の基本定理(Wikipedia)」という、とても有名な定理があります。
その定理の内容は「次数が1以上の任意の複素係数一変数多項式（係数が複素数で、変数が1つの多項式）には、複素根が存在する。」というものです。（ちなみにこの内容から「n次の複素係数一変数多項式はn個の解をもつ」ことが帰納的にわかります。）

「代数学の基本定理」は、複素数の集合が「代数的に閉じている」ことを主張しているのです。
つまり、複素数は「代数的に閉じている（代数的閉体）」です。

上記の説明もさっぱりですよねww

本当に、ごくごく単純に説明すると、

俺らが良く目にする「方程式（多項式）」の解は、ゼッテー複素数ってマジ？

だから俺らは複素数より”デッケー”数に学校で出会わなかったんか～

じゃあもう複素数が「数の世界の終点」ってことでヨくね？？

というような感じです。（大真面目）

虚数単位 $i$ については別の記事を出すのでお楽しみにしてください。

群・環・体について

先ほどは、演算がある集合について閉じていることが必要だと述べました。

この考え方は、現代数学の源泉である「群・環・体」の理論へとつながっています。

この理論を一言で説明すると、

「数学（主に代数学）のエッセンスを抽出したことで、幅広い応用が利く理論」

です。

以下に、演算の正確な定義と群環体それぞれの定義を述べます。

定義が難しく感じる方は、群環体の具体例だけでも確認してみてください。

（抽象的な物事を学ぶ際は、具体例を確認することが上達への最短ルートですよ！）

演算の正確な定義

$X$ が集合であるとき、写像 $phi : X times X to X$ のことを集合 $X$ 上の演算という。混乱の恐れがない時には、 $phi(a,b)$ の代わりに $ab$ と書く。

群の定義

$G$ を空集合ではない集合とする。 $G$ 上の演算が定義されていて次の性質を満たすとき、 $G$ を群という。

単位元と呼ばれる元 $e in G$ があり、すべての $a in G$ に対し $ae = ea = a$ となる。
すべての $a in G$ に対し $b in G$ が存在し、 $ab = ba = e$ となる。この元 $b$ は $a$ の逆元とよばれ、 $a^{-1}$ と書く。
(結合法則)　すべての $a,b,c in G$ に対し、 $(ab)c = a(bc)$ が成り立つ。