【数学の考え方(全六回)】第一回 たし算・かけ算から学ぶ計算のしくみ ~アタリマエを疑う~

2021-04-18

広大な世界へ…

このコーナーでは、少し難しく興味深く面白い内容を取り扱います。

かけ算の順序問題

皆さんは「かけ算の順序問題」をご存じでしょうか?

Q. リンゴが3個ずつ入った袋が全部で4袋あります。リンゴは全部でいくつありますか?

A1. 3×4=12(個)

A2. 4×3=12(個)

A1とA2はどちらも同じ答えを見ちびちだしていて、両方正解のように見えます。

しかし、小学校によってはA1の書き方のみを正解として、A2のような解答は認めない場合があったのです。

ここから、かけ算の順序問題が勃発しました。

具体的な内容は下記の動画やリンクを参照してください。

とある東大生はかけ算に順序が必要だと考えます|Nao Harada|note

かけ算の順序問題 – Wikipedia 

上記のように、いろいろな意見があります。

一概にどちらが正しいとは言えませんが、私はこの問題については先ほどの問題と同様に「考える意味がない」と思っています。

それらは個人の定義信条の問題で、人によって意見が変わってくるのは明々白々です。

皆さんはどう考えますか?

複素数の世界

私たちは先ほど、実数の世界まで旅をしてきました。

このような過程で、数の世界は様々に広がって行きます(自然数→整数→有理数→実数→・・・)。

しかし、ある意味での「数の世界の終着点」というものは存在します。

それは「複素数」と呼ばれる新たな数です。

複素数の定義

2乗すると -1 になる新しい数を1つ考えて、これを文字 i で表し、虚数単位という( i^2 = -1 )。

2つの実数 a,b を用いて a + bi の形に表される数を複素数という。

複素数と言われると、素数と関係がありそうな響きですが、全く関係はありません。

2つの実数、つまり複数の要素から構成される数なので、日本語では「複素・数」と呼ばれています。

「複・素数」ではないので気を付けてください。(英語で複素数はcomplex number、素数はprime number)

なぜこの数が、ある意味での「数の世界の終着点」なのでしょうか?

それは、難しい言葉で答えるならば、

複素係数一変数多項式が複素数の根を持つ、つまり、代数的に閉じているから。

となります。

わかりやすく噛み砕いて説明すると、

数学には「代数学の基本定理」という、方程式の解に関する非常に重要な定理があります。この定理の要点は

n次方程式には(複素数の範囲で)必ずn個だけ解が存在する。

です。

つまり、代数学の主要な考察対象である「多項式」について、その根(=方程式の解)は、必ず複素数の世界の中にあるということを意味します。

ここで、先ほど紹介した言葉「閉じている」のイメージから連想させると、

複素数の世界は代数的に閉じている(=多項式の根は必ず複素数である)」

と表現できます。

上記の説明をもっともっと単純に説明すると、

複素数さえあれば、x^5 + x^3 + 1=0 などの x に関するn次方程式の解がすべて表現できる。

⇒ 高度な数学を習わない高校までは、複素数さえあれば十分じゃない?

というイメージです。

群・環・体について

先ほどまでは、ある計算がある世界で閉じていることが重要だと述べました。

この考え方は、現代数学の源泉である「群・環・体」の理論へとつながっています。

この理論を一言で説明すると、

「代数学のエッセンスを抽出して一般化した、幅広い分野の基礎として役立つもの」

です。

以下、計算→演算、世界→集合と言い換え、演算の正確な定義と群環体それぞれの定義を述べます。

定義が難しく感じる方はそこを読み飛ばして、群環体の具体例だけでも確認してみてください。

抽象的な物事を学ぶ際は、具体例を確認すること上達への最短ルートですよ!

演算の正確な定義 

 X が集合であるとき、写像 \phi : X \spadesuit X \to X のことを集合 X 上の演算という。混乱の恐れがない時には、 \phi(a,b) の代わりに ab と書く。

群の定義

 G を空集合ではない集合とする。 G 上の演算が定義されていて次の性質を満たすとき、 Gという。

  1. 単位元と呼ばれる元 e \in G があり、すべての a \in G に対し ae = ea = a となる。
  2. すべての a \in G に対し b \in G が存在し、 ab = ba = e となる。この元 ba逆元とよばれ、 a^{-1} と書く。
  3. (結合法則) すべての a,b,c \in G に対し、 (ab)c = a(bc) が成り立つ。
群の具体例

 G = 整数、有理数、自然数の集合は通常の加法+により可換群(交換法則が成り立つ)

 G = (0を除いた)有理数、実数の集合は通常の乗法×について可換群

環の定義

集合 A に二つの演算 \heartsuit\spadesuit (加法・乗法、あるいは和・積)が定義されていて、次の性質を満たすとき、 Aという。以下、 a \spadesuit b の代わりに ab と書く。

  1.  A\heartsuitに関して可換群になる。
  2. (積の結合法則)  すべての a,b,c \in A に対し、 (ab)c = a(bc)
  3. (分配法則) すべての a,b,c \in A に対し、 a(b \heartsuit c) = ab \heartsuit ac(a \heartsuit b)c = ac \heartsuit bc 
  4. 乗法についての単位元 1 がある。つまり、 1a = a1 = a がすべての a \in A に対して成り立つ。
環の具体例

整数の集合は通常の加法+と乗法×により環

一元集合 :A = {0} を、 0 + 0 =00 \times 0 = 0 と定義すると、 A は環である(零環自明な環

体の定義

集合 K に二つの演算 \heartsuit\spadesuit (加法・乗法、あるいは和・積)が定義されていて、次の条件を満たすとき Kという。

  1. 演算 \heartsuit,\spadesuit により K は環になる。
  2. 任意の K \in a \neq 0 が乗法に関して可逆元である逆元が存在する)。
体の具体例

 有理数、実数の集合は通常の加法と乗法により体であり、それぞれ有理数体実数体という

一元体(絶対数学に関係する)

(上記の定義に「加法」や「乗法」が出てきましたが、これらは一般の(任意の)演算で、定義によって変わります。)

Q. 複素数はどのような演算について、群・環・体のどれを成すでしょうか?

(答えは複数あります。思いつくだけ書き出してみよう!)

まとめ

今回のキーポイント

四則演算の順序をcheck!

ある集合 S について演算が閉じているとき、S 上で演算が定義できる

自分が「アタリマエ」だと思っていることを常に疑う → 科学的な精神

「複素数」がある意味での「数の世界の終着点」

最後までご覧いただきありがとうございました。

次回の記事もお楽しみに!

参考文献

wikipediaいろいろ

いらすとや

https://www.irasutoya.com/

数の起源

http://www7a.biglobe.ne.jp/~number/page1.html

ニコニコ大百科

https://dic.nicovideo.jp/a/6%C3%B72%281%2B2%29

高校数学の美しい物語

https://mathtrain.jp/

その他文中のリンク

数研出版『数学2』

雪江明彦著『代数学1 群論入門』